子式

對於一個 $n \times n$ 的矩陣 $A$，我們可以通過取出 $A$ 的某些行與列來得到較小的子矩陣，這些子矩陣的行列式就稱為子式(Minor)

$$M_{I,J}(A) = \det(A_{I,J})$$

其中 $I, J$ 代表從列與行中的元素取出來的 索引集合：

• 列的集合： $I = \{i_1, i_2, \dots, i_r\}$
• 行的集合： $J = \{j_1, j_2, \dots, j_c\}$

下面來看實際的例子會比較好理解

具體例子

考慮一個 $3 \times 3$ 矩陣：

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

一些子式的例子：

1. 一階子式：

$$M_{\{1\},\{1\}}(A) = 1$$ $$M_{\{2\},\{3\}}(A) = 6$$

2. 二階子式：

- 取列 $I = \{1, 2\}$，取行 $J = \{1, 2\}$ $$M_{\{1,2\},\{1,2\}}(A) = \det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$ - 取列 $I = \{1, 3\}$，取行 $J = \{2, 3\}$ $$M_{\{1,3\},\{2,3\}}(A) = \det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} = 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 = 18 - 24 = -6$$

3. 三階子式：

$$ \begin{align} M_{\{1,2,3\},\{1,2,3\}}(A) &= \det(A) \\ &= 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) \\ &= 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) \\ &= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) \\ &= -3 + 12 - 9 = 0 \end{align} $$

主子式

主子式(Principal Minor) 是一種特殊的子式，它要求 選取的行和列的索引完全相同，表示為：

$$M_I(A) = \det(A_{I})$$

關鍵特徵

主子式的特徵是：

• 選取的行索引集合 = 選取的列索引集合
• 即 $I = J$，所以記為 $M_I(A)$ 而不是 $M_{I,J}(A)$

具體例子

對於上面的 $3 \times 3$ 矩陣 $A$：

1. 一階主子式：

$$M_{\{1\}}(A) = 1$$

2. 二階主子式：

$$M_{\{1,2\}}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$$ $$M_{\{1,3\}}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = -12$$ $$M_{\{2,3\}}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = -3$$

3. 三階主子式：

$$M_{\{1,2,3\}}(A) = \det(A) = 0$$

順序主子式

順序主子式(Sequential Principal Minor)，或者英文也叫做 Leading Principal Minor 是主子式的一個特殊子類別，它要求 選取的行和列索引必須是連續的，且從第 1 行第 1 列開始

對於 $n \times n$ 矩陣 $A$，其 $k$ 階順序主子式記為 $D_k(A)$，定義為：

$$D_k(A) = \det(A_{1:k, 1:k})$$

其中 $A_{1:k, 1:k}$ 是由 $A$ 的前 $k$ 行和前 $k$ 列組成的 $k \times k$ 子矩陣

關鍵特徵

順序主子式的特徵是：

• 選取的行索引 = 選取的列索引 = $\{1, 2, \ldots, k\}$
• 索引必須是連續的，從 1 開始
• 一個 $n \times n$ 矩陣有 $n$ 個順序主子式：$D_1, D_2, \ldots, D_n$

具體例子

對於上面的 $3 \times 3$ 矩陣 $A$：

1. 一階順序主子式：

$$D_1(A) = \det([1]) = 1$$

2. 二階順序主子式：

$$D_2(A) = \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$$

3. 三階順序主子式：

$$D_3(A) = \det(A) = 0$$

由於順序主子式是從左上角一路取元素下來，所以也可以稱作為 左上子矩陣(upper left submatrix)

參考資料

wiki - Minor (linear algebra)