定義
對一個 $m \times n$ 的矩陣 $A$，我們定義它的 零空間(Null space) 為：
$$
\text{Null}(A) = {\mathbf{v} \in V : A\mathbf{v} = \mathbf{0}}
$$
也就是所有能讓 $A\mathbf{v}=0$ 的向量集合
性質
零空間是一個 子空間(Subspace)
因此 零空間(Null space) 同樣有以下兩點 子空間(Subspace) 的特性
- 若 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathrm{Null}(A)$，則
$$
A(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = A\mathbf{x} + A\mathbf{y} = 0 + 0 = 0
$$- 且對任意常數 ( c )：
$$
A(c\mathbf{x}) = cA\mathbf{x} = c \cdot 0 = 0
$$
零空間的維度(nullity)
$$
\text{nullity}(A) = \dim(\mathrm{Null}(A))
$$秩－零化度定理(Rank-Nullity Theorem)
$$
\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n
$$
其中 $n$ 是 $\text{A}$ 的行數
範例
設
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$我們要求解 $A x = 0$
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$轉換為 簡化列階梯形式(RREF)：
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$得到方程式：
$$
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0
$$
解出自由變數：
$$
x_1 = -2x_2 - 3x_3
$$
因此：
$$ \mathrm{Null}(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix} \right\} $$所以：
$$
\text{nullity}(A) = 2
$$
$A$ 是一個 $2 \times 3 $ 的矩陣，由以上計算可知：
$$
\text{rank}(A) = 1
$$
$$
\text{nullity}(A) = 2
$$
矩陣 $A$ 遵守 秩－零化度定理(Rank-Nullity Theorem)：
$$
\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = 3
$$
與特徵值的關係
在 特徵向量與特徵值 中：
$$
(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0
$$
這個方程的解空間（即 $\mathrm{Null}(A - \lambda I)$），就是 特徵空間(eigenspace)，其維度為該特徵值 $\lambda$ 的 幾何重數(geometric multiplicity)
左零空間
對一個 $m \times n$ 的矩陣 $A$，我們定義它的 左零空間(Left null space) 為：
$$
\text{Null}(A^T) = {\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m : A^T\mathbf{y} = \mathbf{0}}
$$
也就是所有能讓 $A^T\mathbf{y} = \mathbf{0}$ 的向量 $\mathbf{y}$ 的集合
與零空間的關係
一開始最上面提到的 零空間(Null space)：$\text{Null}(A)$ 也被稱為 右零空間(Right null space)，因為它在 $A$ 的右邊乘以 $\mathbf{x}$，即 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$
而 左零空間(Left null space)：$\text{Null}(A^T)$ 滿足 $A^T\mathbf{y} = \mathbf{0}$，套用 轉置矩陣的性質，等價地可以寫成：
$$
\mathbf{y}^T A = \mathbf{0}
$$
由於這是在矩陣 $A$ 的左邊乘以 $\mathbf{y}^T$，因此稱為左零空間
性質
左零空間也是一個子空間
因為 $\text{Null}(A^T)$ 是 $A^T$ 的零空間，而零空間是子空間，所以左零空間也是子空間
左零空間的維度
$$
\dim(\text{Null}(A^T)) = m - \text{rank}(A)
$$這是因為 $A^T$ 是一個 $n \times m$ 的矩陣，根據 秩－零化度定理(Rank-Nullity Theorem)：
$$
\text{rank}(A^T) + \text{nullity}(A^T) = m
$$而 $\text{rank}(A^T) = \text{rank}(A)$，因此：
$$
\text{nullity}(A^T) = m - \text{rank}(A)
$$
範例
沿用前面的例子，設
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$我們要求解 $A^T \mathbf{y} = \mathbf{0}$：
$$ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$轉換為簡化列階梯形式(RREF)：
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$得到方程式：
$$
y_1 + 2y_2 = 0
$$
解出：
$$
y_1 = -2y_2
$$
因此：
$$ \text{Null}(A^T) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix} \right\} $$所以：
$$
\dim(\text{Null}(A^T)) = 1
$$
驗證：$A$ 是一個 $2 \times 3$ 的矩陣，$\text{rank}(A) = 1$，因此：
$$
\dim(\text{Null}(A^T)) = 2 - 1 = 1
$$
符合計算結果
兩個零空間的正交關係
沿用前面的範例，設
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} $$右零空間：與列空間正交
右零空間(Right null space) $\text{Null}(A)$ 與矩陣 $A$ 的 列空間(Row space) 正交
由前面的計算可知：
$$ \text{Null}(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix} \right\} $$矩陣 $A$ 的列向量為：
$$ \mathbf{r}_1 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}, \quad \mathbf{r}_2 = \begin{bmatrix}2 & 4 & 6\end{bmatrix} $$由於 $\mathbf{r}_2 = 2\mathbf{r}_1$，列空間為：
$$ \text{Row}(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}\right\} $$驗證正交性：對於右零空間的基底向量 $\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}$ 和列空間的基底向量 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}$ ：
$$ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix} = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0 $$同樣地，對於另一個基底向量：
$$ \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix} = (1)(-3) + (2)(0) + (3)(1) = -3 + 0 + 3 = 0 $$結論： 右零空間 $\text{Null}(A)$ 與列空間 $\text{Row}(A)$ 正交
左零空間：與行空間正交
左零空間(Left null space) $\text{Null}(A^T)$ 與矩陣 $A$ 的 行空間(Column space) 正交
由前面的計算可知：
$$ \text{Null}(A^T) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix} \right\} $$矩陣 $A$ 的行向量為：
$$ \mathbf{r}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}, \quad \mathbf{r}_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 4\end{bmatrix}, \quad \mathbf{r}_3 = \begin{bmatrix}3 \\ 6\end{bmatrix} $$由於 $\mathbf{r}_2 = 2\mathbf{r}_1$ 且 $\mathbf{r}_3 = 3\mathbf{r}_1$，$A$ 的行空間為：
$$ \text{Col}(A) = \text{span}\left\{\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}\right\} $$驗證正交性：因為 $A^T\mathbf{y} = \mathbf{0}$，對於左零空間的基底向量 $\mathbf{y} = \begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}$ 和 $A$ 的行空間基底向量 $\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}$ ：
$$ \begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2 \\ 1\end{bmatrix} = (-2)(1) + (1)(2) = -2 + 2 = 0 $$結論： 左零空間 $\text{Null}(A^T)$ 與欄空間 $\text{Col}(A)$ 正交
補充資料
1. Nullity 定義
矩陣 $A$ 的 零化度(Nullity) 就是這個 零空間(Null space) 的 維度：
$$
\text{nullity}(A) = \dim(\mathrm{Null}(A))
$$
相關連結
矩陣中的軸元與秩
特徵向量與特徵值
代數重數與幾何重數
線性生成空間-span
參考資料
wiki - 零空間
wiki - 列空間與行空間
wiki - 秩—零化度定理
Linear Algebra Lecture 18: Subspace
Linear Algebra Lecture 20: Column Space, Null Space, Row Space
Linear Algebra Lecture 25: Eigenvalues and Eigenvectors
矩阵乘法核心思想（4）：左零空间
线性代数笔记 14——行空间和左零空间