什麼是 Span？
線性生成空間(Span) 是線性代數中一個核心概念，它描述了給定向量集合能夠「生成」的所有可能向量的集合
定義
設 $S = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k}$ 是向量空間 $V$ 中的一個向量集合，則 $S$ 的 span 定義為：
$$\text{span}(S) = \text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\} = \{c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k : c_1, c_2, \ldots, c_k \in \mathbb{R}\}$$換句話說，$\text{span}(S)$ 是所有 $S$ 中向量的線性組合所構成的集合
範例 1：二維空間中的 span
考慮向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ $$\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \{c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\}$$這個 span 就是整個二維空間 $\mathbb{R}^2$
範例 2：共線向量的 span
考慮向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$由於 $\mathbf{v}_2 = 2\mathbf{v}_1$，這兩個向量共線，所以：
$$\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \text{span}\{\mathbf{v}_1\} = \{c\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} : c \in \mathbb{R}\}$$這是一個通過原點的直線
範例 3：三維空間的 span
考慮向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ $$\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} = \{c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} : c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}\}$$ $$= \{\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} : c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}\}$$這個 span 就是整個三維空間 $\mathbb{R}^3$，因為這三個向量是線性無關的，且構成了 $\mathbb{R}^3$ 的一組基底
範例 4：三維空間中的平面
考慮向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $$\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} = \{c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\} = \{\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 0 \end{bmatrix} : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\}$$這是一個通過原點的平面（$xy$ 平面）
如何判斷向量是否在 span 中？
要判斷向量 $\mathbf{b}$ 是否在 $\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ 中，需要檢查是否存在純量 $c_1, c_2, \ldots, c_k$ 使得： $$\mathbf{b} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k$$ 這等價於求解線性方程組： $$[\mathbf{v}_1 \quad \mathbf{v}_2 \quad \cdots \quad \mathbf{v}_k]\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_k \end{bmatrix} = \mathbf{b}$$範例：判斷向量是否在 span 中
設 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}$。 我們需要檢查是否存在 $c_1, c_2$ 使得： $$c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}$$這給出方程組：
- $c_1 = 2$
- $2c_1 + c_2 = 5 \Rightarrow 4 + c_2 = 5 \Rightarrow c_2 = 1$
- $3c_1 + c_2 = 7 \Rightarrow 6 + 1 = 7 \Rightarrow 7 = 7$