背景：特徵值與特徵向量
對一個 $n \times n$ 矩陣 $A$，如果存在非零向量 $\mathbf{v}$ 和實數（或複數） $\lambda$，使得：
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
其中：
- $\lambda$：特徵值 (eigenvalue)
- $\mathbf{v}$：特徵向量 (eigenvector)
代數重數（Algebraic Multiplicity）
定義
某個特徵值 $\lambda$ 的 代數重數 是：
$\lambda$ 在特徵多項式中的根出現的次數
特徵多項式
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
如果：
$$
p(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_1} (\lambda_2 - \lambda)^{m_2} \cdots (\lambda_k - \lambda)^{m_k}
$$
那麼每個 $m_i$ 就是對應特徵值 $\lambda_i$ 的 代數重數
範例
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $$特徵多項式：
$$
\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2
$$
因此：特徵值 $\lambda = 2$ 的 代數重數($\lambda$) 為 2
幾何重數（Geometric Multiplicity）
定義
某個特徵值 $\lambda$ 的 幾何重數 是：
對應的 特徵空間(eigenspace) 的維度，也就是
$$ \text{nullity}(A - \lambda I) $$
實際上代表的就是該特徵值有幾個獨立的特徵向量
範例
- 範例 1
設
$$ A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $$計算代數重數：
計算特徵多項式：
$$ \det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 $$因式分解：
$$
\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5)
$$
因此特徵值為 $\lambda_1 = 2$ 和 $\lambda_2 = 5$，代數重數$(λ_1)=1$ 代數重數$(λ_2)=1$
計算幾何重數：
對於 $\lambda_1 = 2$：
$$ A - 2I = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$得到方程式：
$$
x_1 + x_2 = 0
$$
求得 零空間(Null space)：
$$ \mathrm{Null}(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \right\} $$=> 幾何重數$(λ_1)=1$
對於 $\lambda_2 = 5$：
$$ A - 5I = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $$求得 零空間(Null space)：
$$ \mathrm{Null}(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} \right\} $$=> 幾何重數$(λ_2)=1$
- 範例 2
再看另一個矩陣：
$$ B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $$計算代數重數：
計算特徵多項式：
$$ \det(B - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (3-\lambda)^2 $$因此特徵值 $\lambda = 3$ 其 代數重數$(λ)=2$
計算幾何重數：
$$ B - 3I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$得到以下方程式：
- $0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 = 0$ → $x_2 = 0$
- $0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = 0$ → 恆等式
所以 $x_1$ 是自由變數，$x_2 = 0$
求得 零空間(Null space)：
$$ \mathrm{Null}(B) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \right\} $$=> 幾何重數$(λ)=1$ (意味著只有一個線性獨立的特徵向量)
矩陣 $B$ 的 代數重數 = 2，幾何重數 = 1，由此我們可以發現兩個重要的特性
特性
1. 同一個特徵值的代數重數必定大於等於幾何重數
$$
\text{幾何重數} \leq \text{代數重數}
$$
解釋：
- 代數重數：特徵值在特徵多項式中出現的次數（理論上應該有幾個特徵向量）
- 幾何重數：實際上有幾個線性獨立的特徵向量
- 由於特徵向量必須線性獨立，所以實際能得到的特徵向量數量不會超過理論上的數量
- 當特徵值有重根時，可能無法找到足夠的線性獨立特徵向量
2. 代數重數等於幾何重數時，代表矩陣可以對角化
解釋：
- 矩陣可對角化的條件 - 矩陣有 $n$ 個線性無關的特徵向量
- 當所有特徵值的代數重數都等於幾何重數時，我們可以找到 $n$ 個線性獨立的特徵向量 => 符合對角化條件
- 相反地，當有特徵值的幾何重數小於代數重數時，代表實際找到的特徵向量數量沒有理論上的多 => 不符合對角化條件
相關連結
零空間(Null space)
特徵向量與特徵值
矩陣對角化
線性生成空間-span