定義

對於 $n \times n$ 矩陣 $A$，如果存在 可逆矩陣 $P$ 和 對角矩陣 $D$，使得：

$$A = P D P^{-1}$$

則稱矩陣 $A$ 是 可對角化的(diagonalizable)，這個過程稱為 對角化(diagonalization)

對角化的條件

矩陣 $A$ 可對角化的充分必要條件是：

1. $A$ 有 $n$ 個線性無關的特徵向量
2. 或者等價地，$A$ 的特徵多項式有 $n$ 個線性無關的特徵向量

對角化步驟

步驟 1：求特徵值

求解特徵方程：
$$\det(A - \lambda I) = 0$$

步驟 2：求特徵向量

對每個特徵值 $\lambda_i$，求解：
$$(A - \lambda_i I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$

步驟 3：構建對角化矩陣

1. 將所有線性無關的特徵向量組成矩陣 $P = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n]$
2. 對角矩陣 $D$ 的對角元素為對應的特徵值：

$$ D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} $$

步驟 4：驗證

檢查是否滿足：$A = P D P^{-1}$

例子

例子 1：可對角化矩陣

考慮矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$

步驟 1：求特徵值

$$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) = 0$$

得到特徵值：$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$

步驟 2：求特徵向量

對於 $\lambda_1 = 2$：

$$(A - 2I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

得到特徵向量：$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$

對於 $\lambda_2 = 3$：

$$(A - 3I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

得到特徵向量：$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$

步驟 3：構建對角化矩陣

$$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$

步驟 4：驗證

$$P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$P D P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = A$$

例子 2：不可對角化矩陣

考慮矩陣：

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

步驟 1：求特徵值

$$\det(B - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(1-\lambda) = (1-\lambda)^2 = 0$$

得到特徵值：$\lambda = 1$

步驟 2：求特徵向量

對於 $\lambda = 1$：

$$(B - I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

這給出方程組：

• $0 \cdot x + 1 \cdot y = 0$，即 $y = 0$
• $0 \cdot x + 0 \cdot y = 0$，即 $0 = 0$（恆等式）

因此，特徵向量為 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ 0 \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

為什麼不可對角化：

• 要對角化 $2 \times 2$ 矩陣，需要 2 個線性無關的特徵向量
• 但 $B$ 只有 1 個線性無關的特徵向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$
• 因此無法構建可逆矩陣 $P$ 來進行對角化

重要性質

1. 冪運算簡化

如果 $A = P D P^{-1}$，則：
$$A^k = P D^k P^{-1}$$

證明請看 - 三、为什么要对角化

2. 行列式

對於可對角化矩陣 $A = P D P^{-1}$，矩陣 $A$ 與 $D$ 的行列式相等：

$$\det(A) = \det(D) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$$

證明請見 - 李宏毅老師講解的 - Characteristic Polynomial 篇章

3. 跡

對於可對角化矩陣 $A = P D P^{-1}$，矩陣 $A$ 與 $D$ 的 跡 相等：

$$\text{tr}(A) = \text{tr}(D) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$

證明請見 - wiki - 跡數的相似不變性

相關連結

奇異矩陣
特徵向量與特徵值

參考資料

wiki - 可對角化矩陣
wiki - 跡
通俗易懂：矩阵对角化
Linear Algebra Lecture 26: Diagonalization
【無痛線代】特徵值的本質究竟反映了什麼特徵？