定義
對於 $n \times n$ 實矩陣 $Q$，如果滿足：
$$Q^T Q = Q Q^T = I$$
其中 $I$ 是 $n \times n$ 單位矩陣，則稱 $Q$ 為正交矩陣
例子
$$ Q_1 = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$ $$ Q_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$ $$ Q_3 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} $$基本性質
1. 逆矩陣性質
對於正交矩陣 $Q$：
$$Q^{-1} = Q^T$$
證明：
由定義 $Q^T Q = I$，根據逆矩陣的定義，$Q^T$ 就是 $Q$ 的逆矩陣
2. 正交矩陣的轉置
若 $Q$ 是正交矩陣，則 $Q^T$ 也是正交矩陣
證明：
若 $Q$ 是正交矩陣，則根據定義：
$$Q^T Q = I \quad \text{且} \quad Q Q^T = I$$
將 $Q^T$ 代入上述兩式：
$$(Q^T)^T Q^T = Q Q^T = I$$
$$Q^T (Q^T)^T = Q^T Q = I$$
可得 $Q^T$ 滿足正交矩陣的定義，證明 $Q^T$ 也是正交矩陣
3. 行列式性質
正交矩陣的行列式滿足：
$$|\det(Q)| = 1$$
即 $\det(Q) = \pm 1$
證明：
由於 $Q^T Q = I$，所以：
$$\det(Q^T Q) = \det(I) = 1$$
另一方面根據 行列式的乘法定理：
$$
\det(Q^T Q)=\det(Q^T)\det(Q)
$$
根據 轉置不改變行列式的性質，上式變為：
$$
\det(Q^T Q)=\det(Q^T)\det(Q)=\det(Q)\det(Q)=\det(Q)^2
$$
可求得 $\det(Q)^2 = 1$，證明 $|\det(Q)| = 1$
4. 保持向量長度
正交矩陣保持向量的歐幾里得長度：
$$|Q\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|$$
證明：
根據 內積的矩陣乘法形式：
$$
x \cdot y = x^Ty \quad\Rightarrow\quad |x|^2 = x^Tx
$$
所以：
$$|Q\mathbf{x}|^2 = (Q\mathbf{x})^T (Q\mathbf{x})$$
根據 矩陣乘法的轉置：
$$(Q\mathbf{x})^T (Q\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T Q^T Q \mathbf{x} = \mathbf{x}^T I \mathbf{x} = \mathbf{x}^T \mathbf{x} = |\mathbf{x}|^2$$
因此可得 $|Q\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|$
5. 保持向量夾角
正交矩陣保持兩個向量之間的夾角：
$$\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|} = \frac{Q\mathbf{u} \cdot Q\mathbf{v}}{|Q\mathbf{u}||Q\mathbf{v}|}$$
證明：
分母的部分可由上面 正交矩陣保持向量長度特性 證明
分子則可證明如下：
$$Q\mathbf{u} \cdot Q\mathbf{v} = (Q\mathbf{u})^T (Q\mathbf{v}) = \mathbf{u}^T Q^T Q \mathbf{v} = \mathbf{u}^T I \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$$
最終證明兩個向量都乘以正交矩陣後，夾角保持不變
6. 列向量性質
正交矩陣的列向量構成 標準正交基：
- 每個列向量的長度為 1
- 不同列向量之間互相正交
7. 行向量性質
正交矩陣的行向量也構成 標準正交基：
- 每個行向量的長度為 1
- 不同行向量之間互相正交
8. 正交矩陣的乘積
若 $Q_1$ 和 $Q_2$ 都是正交矩陣，則它們的乘積 $Q_1 Q_2$ 也是正交矩陣
證明：
根據 矩陣乘法的轉置：
$$(Q_1 Q_2)^T (Q_1 Q_2) = Q_2^T Q_1^T Q_1 Q_2$$
由於 $Q_1$ 是正交矩陣，所以 $Q_1^T Q_1 = I$：
$$Q_2^T Q_1^T Q_1 Q_2 = Q_2^T I Q_2 = Q_2^T Q_2$$
由於 $Q_2$ 也是正交矩陣，所以 $Q_2^T Q_2 = I$：
$$Q_2^T Q_2 = I$$
因此 $(Q_1 Q_2)^T (Q_1 Q_2) = I$，證明 $Q_1 Q_2$ 是正交矩陣
9. 幾何意義
正交矩陣的幾何意義是旋轉或鏡射變換
由 行列式性質 可知 $\det(Q) = \pm 1$，這兩種情況對應不同的幾何意義：
旋轉矩陣 ($\det(Q) = 1$)
例如二維旋轉矩陣：
$$Q = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$當此矩陣作用在向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 上時，會將向量繞原點逆時針旋轉角度 $\theta$：
$$Q \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{bmatrix}$$特別地，當作用在標準基向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 上時：
$$Q \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix} \quad Q \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix}$$可以看到標準基向量被旋轉到單位圓上的對應位置，這正是旋轉變換的幾何意義
鏡射矩陣 ($\det(Q) = -1$)
例如對於 $x$ 軸的鏡射：
$$Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$當此矩陣作用在向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 上時：
$$Q \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}$$可以看到 $x$ 座標保持不變，而 $y$ 座標變為負值，這正是關於 $x$ 軸（即 $y=0$ 的直線）的鏡射變換
結論: 由於正交矩陣 保持向量長度 和 保持向量夾角，這意味著正交變換不會拉伸或壓縮空間，做的只是旋轉或鏡射變換
補充資料
1. 標準正交基
定義：
在 $n$ 維向量空間中，如果一組向量 ${\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n}$ 滿足：
正交性：任意兩個不同向量互相正交
$$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = 0 \quad \text{當 } i \neq j$$單位長度：每個向量的長度為 1
$$|\mathbf{e}_i| = 1 \quad \text{對所有 } i$$
則稱這組向量為 標準正交基(orthonormal basis)
例子：
二維標準正交基：
$$\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \\ \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$三維標準正交基：
$$\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \\ \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \\ \mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$旋轉後的標準正交基：
$$\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \\ \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$