定義
對於矩陣 $A$，其轉置矩陣表示為 $A^T$，其中：
$$A_{ij}^T = A_{ji}$$
換句話說，原矩陣的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，在轉置矩陣中變成第 $j$ 行第 $i$ 列元素
例子
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$$特性
1. 轉置的轉置
$$(A^T)^T = A$$
轉置矩陣的轉置等於原矩陣本身
2. 矩陣加法的轉置
$$(A + B)^T = A^T + B^T$$
兩個矩陣和的轉置等於各自轉置的和
3. 純量乘法的轉置
$$(cA)^T = cA^T$$
純量乘以矩陣的轉置等於純量乘以矩陣的轉置
4. 矩陣乘法的轉置
$$(AB)^T = B^T A^T$$
兩個矩陣乘積的轉置等於其轉置矩陣的逆序乘積
證明：
設 $A$ 是 $m\times n$ 矩陣，$B$ 是 $n\times p$ 矩陣。記 $(AB)_{ij}$ 為 $AB$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，則
$$ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} $$轉置後，第 $i$ 行第 $j$ 列變成第 $j$ 行第 $i$ 列，因此
$$ \big((AB)^T\big)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki} $$另一方面，考慮 $B^T A^T$，它是 $p\times m$ 矩陣，其第 $i$ 行第 $j$ 列為
$$ (B^T A^T)_{ij} = \sum_{k=1}^n (B^T)_{ik} (A^T)_{kj} = \sum_{k=1}^n b_{ki} a_{jk} $$由於純量乘法可交換，$\sum_{k} a_{jk} b_{ki} = \sum_{k} b_{ki} a_{jk}$，因此對任意 $i,j$：
$$ \big((AB)^T\big)_{ij} = (B^T A^T)_{ij} $$因為對所有元素都相等，故矩陣相等：
$$
(AB)^T = B^T A^T
$$
範例：
令
$$ A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix} \quad B=\begin{bmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{bmatrix} $$計算得
$$ AB=\begin{bmatrix}58&64\\139&154\end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad (AB)^T=\begin{bmatrix}58&139\\64&154\end{bmatrix} $$而
$$ B^T=\begin{bmatrix}7&9&11\\8&10&12\end{bmatrix} \quad A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix} $$ $$ B^T A^T = \begin{bmatrix}58&139\\64&154\end{bmatrix} $$兩邊相等，驗證成立
從另一個方向來思考，最後求出來的元素：
- $a_{11}$ - 58
一開始是由 (1, 2, 3) 與 (7, 9, 11) 這兩組互乘得到 58，轉置過後是由 (7, 9, 11) 與 (1, 2, 3) 互乘，最後得到的結果一樣
- $a_{12}$ - 139
一開始是由 (4, 5, 6) 與 (7, 9, 11) 這兩組互乘得到 139，轉置過後是由 (7, 9, 11) 與 (4, 5, 6) 互乘，最後得到的結果一樣
- $a_{21}$ - 64
一開始是由 (1, 2, 3) 與 (8, 10, 12) 這兩組互乘得到 64，轉置過後是由 (8, 10, 12) 與 (1, 2, 3) 互乘，最後得到的結果一樣
- $a_{22}$ - 154
一開始是由 (4, 5, 6) 與 (8, 10, 12) 這兩組互乘得到 154，轉置過後是由 (8, 10, 12) 與 (4, 5, 6) 互乘，最後得到的結果一樣