矩陣中的軸元與秩

發布於: 2025-09-24 更新於: 2025-11-03 分類於: 線性代數閱讀次數:

定義

在矩陣中，軸元(pivot) 是指每列中的第一個非零元素

考慮以下矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

在這個矩陣中：

第 1 列的軸元是 $a_{11} = 2$（位置 (1,1)）
第 2 列的軸元是 $a_{22} = 4$（位置 (2,2)）
第 3 列的軸元是 $a_{33} = 5$（位置 (3,3)）

因此對於矩陣 $A$ 來說有三個軸元分別是 $2, 4, 5$

性質

1. 軸元與矩陣的秩

矩陣的秩(rank) 等於其軸元的個數。這意味著：

如果矩陣有 $r$ 個軸元，則 $\text{rank}(A) = r$
如果矩陣沒有軸元（零矩陣），則 $\text{rank}(A) = 0$

計算

計算軸元最常使用的是高斯消去法

範例 1.

考慮矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$

步驟 1：第一列的軸元是 $a_{11} = 1$

步驟 2：消去第二列第一行的元素

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$

步驟 3：消去第三列第一行的元素

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

最終結果：只有一個軸元 $a_{11} = 1$，因此 $\text{rank}(A) = 1$

範例 2.

考慮矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$$

步驟 1：第一列的軸元是 $a_{11} = 1$

步驟 2：消去第二列第一行的元素 (4)

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$$

步驟 3：消去第三列第一行的元素 (1)

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}$$

步驟 4：第二列的軸元是 $a_{22} = 2$

步驟 5：消去第三列第二行的元素 (-2)

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$$

最終結果：有三個軸元 $a_{11} = 1$，$a_{22} = 2$，$a_{33} = -2$，因此 $\text{rank}(A) = 3$

滿秩矩陣

定義

對於 $m \times n$ 矩陣 $A$，如果其秩等於矩陣的列數或行數中的較小值，則稱該矩陣為 滿秩矩陣(full rank matrix)

具體來說：

如果 $m \leq n$ 且 $\text{rank}(A) = m$，則 $A$ 是 列滿秩(row full rank)
如果 $n \leq m$ 且 $\text{rank}(A) = n$，則 $A$ 是 行滿秩(column full rank)
對於 $n \times n$ 方陣，如果 $\text{rank}(A) = n$，則 $A$ 是 滿秩方陣

滿秩方陣與線性獨立性

對於 $n \times n$ 的方陣 $A$，若 $\text{rank}(A) = n$，其為 滿秩方陣

此時：

行向量線性獨立
列向量線性獨立
$\det(A) \ne 0$
$A$ 可逆（invertible）

範例 1：滿秩方陣

考慮 $3 \times 3$ 矩陣：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

通過高斯消去法得到：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

此矩陣有三個軸元：$a_{11} = 1$，$a_{22} = 1$，$a_{33} = 3$

$\text{rank}(A) = 3 = n$，因此 $A$ 是滿秩方陣
列向量線性獨立：$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 彼此線性獨立
行向量線性獨立：$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T$，$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}^T$，$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T$ 彼此線性獨立
$\det(A) = 3 \ne 0$，因此 $A$ 可逆

範例 2：列滿秩矩陣

考慮 $2 \times 3$ 矩陣（列數大於行數）：

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

此矩陣有兩個軸元：$b_{11} = 1$，$b_{22} = 1$

$\text{rank}(B) = 2 = m$（列數），因此 $B$ 是列滿秩
列向量 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 線性獨立

範例 3：行滿秩矩陣

考慮 $3 \times 2$ 矩陣（列數大於行數）：

$$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

此矩陣有兩個軸元：$c_{11} = 1$，$c_{22} = 1$

$\text{rank}(C) = 2 = n$（行數），因此 $C$ 是行滿秩
行向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 線性獨立

範例 4：非滿秩矩陣