定義
在矩陣中，軸元(pivot) 是指每列中的第一個非零元素
考慮以下矩陣：
$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$在這個矩陣中：
- 第 1 列的軸元是 $a_{11} = 2$（位置 (1,1)）
- 第 2 列的軸元是 $a_{22} = 4$（位置 (2,2)）
- 第 3 列的軸元是 $a_{33} = 5$（位置 (3,3)）
因此對於矩陣 $A$ 來說有三個軸元分別是 $2, 4, 5$
性質
1. 軸元與矩陣的秩
矩陣的 秩(rank) 等於其軸元的個數。這意味著：
- 如果矩陣有 $r$ 個軸元，則 $\text{rank}(A) = r$
- 如果矩陣沒有軸元（零矩陣），則 $\text{rank}(A) = 0$
2. 軸元與線性獨立性
軸元所在的行向量是線性獨立的，這提供了判斷向量組線性獨立性的有效方法
計算
計算軸元最常使用的是高斯消去法
範例 1.
考慮矩陣：
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$步驟 1：第一列的軸元是 $a_{11} = 1$
步驟 2：消去第二列第一行的元素
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$步驟 3：消去第三列第一行的元素
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$最終結果：只有一個軸元 $a_{11} = 1$，因此 $\text{rank}(A) = 1$
範例 2.
考慮矩陣：
$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$$步驟 1：第一列的軸元是 $a_{11} = 1$
步驟 2：消去第二列第一行的元素 (4)
$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$$步驟 3：消去第三列第一行的元素 (1)
$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}$$步驟 4：第二列的軸元是 $a_{22} = 2$
步驟 5：消去第三列第二行的元素 (-2)
$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$$最終結果：有三個軸元 $a_{11} = 1$，$a_{22} = 2$，$a_{33} = -2$，因此 $\text{rank}(A) = 3$