前言
特徵向量(Eigenvector) 與 特徵值(Eigenvalue) 是線性代數中最基礎的概念，這篇文章複習這兩者的計算方式
定義
給定一個 $n \times n$ 的方陣 $A$，如果存在一個非零向量 $\mathbf{x}$，使得：
$$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$$
其中 $\lambda$ 是一個純量，則稱：
- $\mathbf{x}$ 為矩陣 $A$ 的 特徵向量
- $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的 特徵值
為什麼要規定 $\mathbf{x}$ 為非零向量？因為如果 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$，則 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 將恆成立，這會使得任何純量都成為特徵值，失去意義
幾何意義
特徵向量與特徵值有一個重要的幾何解釋：
在特徵值為實數的情況下，畫一條通過原點的特徵向量，則在這個直線上的任何向量被 $A$ 作用後，所得到的結果仍然會在這條直線上。
換句話說，特徵向量在線性變換下保持方向不變，只是長度被縮放 $\lambda$ 倍。
特徵方程
要找到特徵向量和特徵值，我們需要求解：
$$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$$
將此式改寫：
$$
A\mathbf{x} - \lambda \mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
$$
A\mathbf{x} - \lambda I \mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
$$
(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中為了方便計算引入 單位矩陣 $I$
由於 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，但 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，這意味著：
$(A - \lambda I)$ 必須是奇異矩陣（Singular Matrix）
為什麼呢？假設 $K = (A - \lambda I)$ ：
- 如果 $K$ 是 奇異矩陣，則 $K\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有無窮多解
- 如果 $K$ 是 非奇異矩陣，則 $K\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有唯一零解
=> 由於我們需要 x 是非零向量，所以 $K$ 必須是 奇異矩陣
奇異矩陣 的行列式必為 0，因此：
$$\det(A - \lambda I) = 0$$
這個方程稱為 特徵方程（Characteristic Equation），解此方程可得到所有特徵值
具體計算範例
讓我們用一個具體例子來說明計算過程，假設：
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$步驟 1：建立特徵方程
$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$步驟 2：計算行列式
$$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) - 2 \cdot 3$$ $$= 2 - 3\lambda + \lambda^2 - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4$$步驟 3：求解特徵值
$$\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0$$
$$(\lambda + 1)(\lambda - 4) = 0$$
因此，特徵值為：$\lambda_1 = -1$ 和 $\lambda_2 = 4$
步驟 4：求對應的特徵向量
對於 $\lambda_1 = -1$：
$$(A - \lambda_1 I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$$ $$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$這給出方程組：
- $2x_1 + 2x_2 = 0$
- $3x_1 + 3x_2 = 0$
兩個方程等價於：$x_1 + x_2 = 0$
選擇 $x_1 = 1$，則 $x_2 = -1$，得到特徵向量：$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1, -1 \end{pmatrix}$
對於 $\lambda_2 = 4$：
$$(A - \lambda_2 I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$$ $$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$這給出方程組：
- $-3x_1 + 2x_2 = 0$
- $3x_1 - 2x_2 = 0$
兩個方程等價於：$3x_1 - 2x_2 = 0$
選擇 $x_1 = 2$，則 $x_2 = 3$，得到特徵向量：$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2, 3 \end{pmatrix}$
驗證
讓我們驗證結果：
$$A\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \lambda_1 \mathbf{v}_1$$ $$A\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \lambda_2 \mathbf{v}_2$$重要性質
1. 特徵向量的非唯一性
特徵向量並非唯一！對於同一個特徵值，任何滿足特徵方程的向量都是特徵向量。例如：
- 對於 $\lambda_1 = -1$，任何滿足 $x_1 + x_2 = 0$ 的向量都是特徵向量
- $(1, -1)$、$(-1, 1)$、$(2, -2)$ 等都是有效的特徵向量
2. 特徵向量的方向性
特徵向量之間只相差一個常數倍數，它們都位於同一條通過原點的直線上：
- $x_1 + x_2 = 0$ 上的特徵向量，$(1, -1)$、$(-1, 1)$、$(2, -2)$ 等，都只相差一個常數倍數