定義
一個方陣 $A$ 如果 行列式為 0：
$$
\det(A) = 0
$$
那麼這個矩陣就是 奇異矩陣 (Singular matrix)
反之，如果 $\det(A) \neq 0$，則稱為 非奇異矩陣 (invertible matrix)
等價條件
矩陣 $A$ 是奇異矩陣代表以下條件中任一成立：
$A$ 不可逆，沒有 $A^{-1}$
$A$ 的 秩 (rank) 小於矩陣大小
存在非零向量 $x$，使得
$$
A x = 0
$$
幾何意義
奇異矩陣代表 壓扁 了空間。
例如在 $\mathbb{R}^2$ 的奇異矩陣：
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $$→ $\det(A)=0$，兩行線性相關，會把 2D 平面壓到一條直線
舉例
- 非奇異
- 奇異
因為第二行是第一行的 2 倍，線性相關，因此 $\det(B)=0$
線性方程組的解
接著來探討一下 奇異矩陣 與 非奇異矩陣 在 $Ax = 0$ 與 $Ax = b$ 時各種解的狀況：
齊次方程組 $Ax = 0$
奇異矩陣：
- 有 無窮多解
非奇異矩陣：
- 有且只有 唯一零解 $x = 0$
非齊次方程組 $Ax = b$
奇異矩陣：
- 如果 $b$ 在 $A$ 的列空間中：有 無窮多解
ex.
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} $$最後只會化簡成一條函式，因此有無窮多解：
$$
x_1 + 2x_2 = 3
$$
- 如果 $b$ 不在 $A$ 的列空間中：無解
非奇異矩陣：
- 對任意 $b$ 都有 唯一解 $x = A^{-1}b$